几个平几定理的另证


来源金华家教吧 日期:2010年07月11日 点击:1074次 分类家长课堂 上一篇Unit 11 What... 下一篇简证一竞赛题
作者:毛永吉 发表于“初中生数学学习”1992年笫3期

一、圆心角定理

课本利用圆的旋转不变性给出圆心角定理的证明,不少同学难以理解,因而不能放心大胆地运用该定理解决有关问题。下面给出易为同学们接受的其他证法。

已知:如图,圆心角∠AOB=∠A′O′B′,OM和O′M′是弦心距.

求证:(1)AB=A'B'.(2)OM=O'M'.


对于(1)和(2),同学们容易想到借助于全等三角形的对应边、对应高的相等来证明,这里仅证明(3)


对于(1)和(2),同学们容易想到借助于全等三角形的对应边、对应高的相等来证明,这里仅证明(3).

证明: 连结AB′、A′B,作∠AOB′的平分线交⊙O于C.

则 ∠AOC=∠B′OC,∠AOB=∠A′OB.

∴ ∠BOC=∠A′OC.而OB=OA′.

∴ OC⊥A′B.

同理 OC⊥AB′.

∴ A′B∥AB′.

二、弦切角定理

下面给出弦切角定理的不同于课本的一种证法,这有助于同学们开阔思路,有助于同学们复习有关的知识。已知:如图,AB切⊙O于A.求证:∠BAC=∠APC.

证明:如图,过O作EF⊥AC于E ,交⊙O于F,连结OA,那么

∴ ∠APC=∠AOF.

过F作FM∥AC,交AB于M,那么∠BAC=∠BMF,EF⊥FM,又OA⊥AB.

∴ 四边形AOFM内接于圆.

∴ ∠BMF=∠AOF.

∴ ∠BAC=∠APC.

三、相切两圆的性质定理

已知: 如图,⊙O1和⊙O2相切于T.

求证: 连心线O1O2经过切点T.

证明: 假设连心线O1O2不经过切点T,那么O1、O22和T构成ΔO1O2T.

∴ 丨O1TO2T<O1O2<O1O2<O1T+O2T

∴ ⊙O1与⊙O2相交,这与题设矛盾.

∴ 连心线O1O2经过切点T.